先日訳したシャッフル関連の記事からリンクの張られていた「7回のリフルシャッフルはデッキを無作為化できる」という話に関する記事。そこそこ長いけど結論はひどくシンプルな話で、はっきり言ってしまえば最後の段落がすべて。ちなみに以下が前回に訳した記事。

　　僕のシャッフルはデッキを十分に無作為化できてるんだろうか？
　　http://regiant.diarynote.jp/201201202104281778/

【翻訳】シャッフルとイカサマと無作為化について/Shuffles, Cheating, and Randomization【SCG】
Michael A. Rutter
2001年06月06日
元記事：http://www.starcitygames.com/php/news/print.php?Article=1499

　僕たちがマジックの大会へ向かうとき、そこではみんな同じゲームを同じルールで遊んでる（と思いたい）。同じでなければならないと決められていると言えばそうだけど、それでもマジックの大会では多くのユニークなプレイヤーたちがいる。

　段階的に見ていくと、まずゲームそれ自体として、どんなデッキをプレイするかで自分たちの個性が発揮される。デッキの選択が何によって左右されるのかというと、僕らがメタゲームを読み解いた結果であったり、どんなデッキタイプが好きかということであったり、または（僕みたいな貧乏な院生にとっては）そのとき手元にある強いレアが何なのかということだったりする。

　しかし会場にいる他のプレイヤーと自分を見分けるのには他にもたくさんの方法がある。どんなスリーブを使っているのか、どうやって残りライフの記録をつけているのか、どんなお守りを持ち歩いているのか、どんなカードの広げ方をするのか、どんな服装をしているのか、などなど。

　ただし1つだけ他人との差別化を図ってはいけないものがある。シャッフルのテクニックだ。

　1つ例を挙げてみよう。先週末のアメリカ選手権のトップ8で起こったことだ。Casey McCarrelはカードを意図的に操作したため準決勝で失格となった（詳細はここ(註)を参照）。話によるとMcCarrelが対戦相手であるBrian Hegstadへ返した山札は上から11枚が全て呪文になっていたらしい。

　これは明らかにBrianにとって不利な状態だ。少なくとも1回はマリガンをすることになるだろう。僕にはCasey McCarrelがどうやってそれを行ったのか皆目検討もつかないし、これを書いている今も、その手段について書かれた記事などは一切見かけていない。何にせよ、McCarrelは大会で失格の裁定を受けた。

(註) ここを参照
　リンク先は以下のURL。記事にあるとおり、Casey McCarrelの失格の裁定について。
　http://www.wizards.com/sideboard/article.asp?x=USNAT01/783mccarreldq

　2つ目のシャッフルに関連した例としては、日曜日にデトロイトで行われたアポカリプスのプレリリースでのことだ。あれは2ラウンド目のことだった。僕は緑白青のトリーヴァカラーのデッキで、それは《復活させるものトリーヴァ/Treva, the Renewer》とタッパー3枚と《時間の泉/Temporal Spring》2枚とそこそこの枚数のフライヤーが入ったデッキだった。

　僕の対戦相手は非常に話好きなプレイヤーだった。しかし残念ながら彼が話しかけていた相手は僕じゃなかった。彼は話を聞いてくれる相手なら誰でも良かったらしく、そのときは隣の席のプレイヤーと話していた。

　もしかしたらその相手は彼の友達だったのかもしれないし、僕の対戦相手が32人の参加者があったプレーンシフトのプレリリースでとても強いコントロールデッキが組めて優勝できたという話もすでに聞いたことがあったかもしれない。それとも聞いたけど忘れてたのかもしれない。どっちでもいいことだけど、彼が別のプレリリースで優勝したことがあるってのはもしかしたら今この話を聞いてる君たちにも予想がついたかもね。

　最初のゲームで僕はトリーヴァを4回も唱えたのに負けてしまった。なぜかというと最初の3回に唱えたトリーヴァは全て《時間の泉/Temporal Spring》でライブラリの上へ戻されてしまったからだ。

　2ゲーム目は、対戦相手がペインランドのマナを使って次々と《煽動するものリース/Rith, the Awakener》と《魂売り/Spiritmonger》を召喚してきたせいで負けてしまった。すぐにカードを片付ける羽目になったよ。

　彼の引いた6枚のレアのうち3枚がペインランドと《煽動するものリース/Rith, the Awakener》と《魂売り/Spiritmonger》だったという点と3つのアポカリプスのブースターから3枚の《時間の泉/Temporal Spring》（うち1枚はフォイル）を引いたという点にはとりあえず目をつむろう。

　ここで話したいのは彼のシャッフルがユニークだったということだ。

　対戦相手の彼が隣の席のプレイヤーとしゃべっているあいだ、僕は自分のデッキをシャッフルしていて彼のシャッフルを見てはいなかった。しかし彼は僕にカットを頼むためにデッキを手渡すとき、まず自分で1回カットを入れてから手渡してきたんだ。

　そのとき僕はそれがちょっとだけ気になった。それでも単に1回のカットをおこなっただけで彼にデッキを返したんだ。1ゲームと2ゲームのあいだ、僕は彼のシャッフルを観察していた。それは以下のような手順だった。

その１
　カードを7つの山に分けるパイルシャッフルを行い、それを手元に引き寄せてテーブルの端から落とし、テーブルの下で1つにまとめた。

その２
　何度かリフルシャッフルをおこなった。

その３
　非常に素早いオーバーハンドシャッフルを数回おこなった。カードは90度かたむけていたのでカードの短いほうの辺が手のひらに当たる形だった。

その４
　デッキをカットしてから僕に手渡した。

　もし彼がデッキを積み込んでいたとすれば、彼がおこなった1回のカットはデッキの上にあったカードを中ほどに持ってきたことになる。それはつまり、もし僕が1回だけカットをすることでそれらのカードがまた山札の上にくるようにしてあるわけだ。

　わざわざ言う必要はないかもしれないけど、僕はただカットするかわりにその対戦相手のデッキをシャッフルした。ちなみにこの2年間で対戦相手のデッキをカットせずにシャッフルしたのはこれが初めてのことだ。

　その対戦相手のシャッフルに何かあると感じたのは僕だけじゃなかった。

　同じ大会で、僕の妻であるナタリーはそのプレイヤーの隣に座る機会があった。そのとき、そのプレイヤーの対戦相手は相手のシャッフルについてジャッジの判断を仰いだ。シャッフルだけではなく、カードの方向についてもだ（土地だけ違う向きに入れたりするあれだ）。

　そのマッチのあとでナタリーが小耳に挟んだ会話によると、プレイヤーは対戦相手のデッキを毎回シャッフルすべきだということだった。常にシャッフルするようにしていれば「さっきの対戦のときは相手のデッキをシャッフルしてなかったじゃないか。俺がイカサマしてるとでも？」と対戦相手に言われることもないからだ。

　つまり相手のデッキをわざわざシャッフルしたということは僕は相手がイカサマ師だと糾弾しているのだろうか？その通りだ（とはいえ証拠はない）。さらに言うと少なくとももう1人はそう感じたプレイヤーがいたわけだ。

　しかし僕が願っているようにプレリリースがくつろいだ雰囲気の中で楽しく行われ、かつ80ドル以上の賞品がかかっているとなるとプレイヤーはイカサマをする。

　この話から学ぶべき教訓は以下だ。

　ユニークで普通じゃないシャッフルによって注目を集めるようなことはすべきじゃない。もし君が変わった手順でシャッフルをしており、他のプレイヤーからどうしてそんなシャッフルをしているのかと尋ねられるようなら、変えた方がいい。それは君自身を救うことになるし、同様に対戦相手にとってもありがたいことだ。

　もし君が変わったシャッフルを続けるようなら他のプレイヤーたちは君がイカサマをしているのかもしれないと疑うだろう。そしてどうしてそんなシャッフルをするのかとずっと聞かれることになる。

　ネットにはシャッフルによってデッキを積み込む手段を紹介しているサイトがたくさんある。以下はその1つだ。

　　How to False Shuffle
　　http://www.ehow.com/eHow/eHow/0,1053,4402,00.html

　これで君も積み込みのテクニックを知ったわけだ。さてそこで次の質問だ。カードを確実にランダムにできるもっともよいスタンダードなシャッフル方法はどのようなものか？

　マジックでよく用いられているシャッフルは主に3つある。リフルシャッフル、オーバーハンドシャッフル、そしてパイルシャッフルだ。

　リフルとオーバーハンドは他のカードゲームでよく用いられているシャッフル方法だ。リフルシャッフルはここから(註)、オーバーハンドシャッフルはここから(註)確認できる（それ以外にも特定のカードを好きな場所に置く方法も色々とね）。パイルシャッフルはデッキが2つかそれ以上の山札に分けてからそれらを1つに積み上げるタイプのシャッフルだ。

(註) リフルシャッフル
　原文には以下のURLが紹介されている。
　http://www.ehow.com/eHow/eHow/0,1053,4353,00.html

(註) オーバーハンドシャッフル
　原文には以下のURLが紹介されているけど、すでにリンク切れ。
　http://ps.superb.net/cardtric/sleights/overhand.htm

　ある論文によると52枚のカードの束をリフルシャッフルする際の理想的な回数は7回とのことだ。Brad Mannによって書かれたこの論文のコピーはここで読める(註)。ただあらかじめ言っておくと、これは非常にテクニカルな確率論の論文であり読みやすいとはとても言えない。

(註) 記事のコピーはここで読める
　リンク先は以下のPDFファイル。ハーバード大学の数学科の人が書いた論文らしい。本物の論文なので数学の知識がないと読めなさそう。
　http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/Mann.pdf

　この7回のルールは60枚デッキを使うマジックにも適用できる。

　先に言っておくとここであげている確率論のモデルは「完璧な」リフルシャッフルを想定していない。つまり、デッキをちょうど2つに分けて1枚ずつ重なり合うようなリフルシャッフルではなく、逆にデッキが必ず不均等な2つの束に分けられた上でちょうど1枚ずつ互い違いに「ならない」ようなシャッフルであることを仮定している。

　またこの論文では何回のシャッフルが適切なのかについて異なる意見も掲載している。行為者が何をもって無作為化がなされたととらえるか（これについてはまた後述する）によって回数が11回や12回などの場合の例も挙げられている。

　ちなみにもし君が5-color(註)のデッキをリフルシャッフルするなら、デッキを無作為化する理想的なシャッフル回数は9回だ。もし君が250枚のデッキをリフルシャッフルできるならの話だけどね。

(註) 5-color
　5色それぞれのカードが一定枚数入れなければいけない特殊な非公式フォーマット。デッキ枚数は250枚。MTG Wikiでは「5-Color Magic」という項目名で紹介されている。

　上であげたリンクの1つではオーバーハンドシャッフルを悪用する方法が何通りか紹介されている。またリフルシャッフルについても同様に悪用しようと思えばできる。興味深いリンク(註)がある。ここでは「完璧な」リフルシャッフルについて述べている。

　君がこのレベルにまで「完璧に」シャッフルできるとすれば、Out-Shuffle(註)をすれば山札の一番上のカードはそのまま一番上にあり続けるし、In-Shuffleをすることで一番上のカードは上から2枚目へ移動する。つまりリンク先の情報を読み解ければ適切な回数のシャッフルを行うことで山札の一番上のカードを好きな位置に移動できるということだ。

(註) 興味深いリンク
　原文では以下のURLが紹介されている。
　http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20001.1-6.shtml

(註) Out-Shuffle／In-Shuffle
　文中にあるとおり、シャッフルし終えたときに一番上のカードがそのまま上にくるような互い違い順にするのがOut-Shuffle。両手に半分ずつ持ち替えたとき、元々下側にあった束を先に下へ落とし始めるということ。
　In-Shuffleはその逆で、元々上側にあった束を先に下へ落とし始めるシャッフル。一番上にあったカードはシャッフル後には上から2枚目の位置に来ることになる。

　ここまでの情報を踏まえると、数学的観点からデッキを適切にシャッフルするのに必要な回数は7回以上の「完璧でない」リフルシャッフルということになる。またイカサマでないことを視覚的に分かりやすくするために、上半分と下半分が混ざるようなオーバーハンドシャッフルも何度か加えておくべきだろう。

　つまり、対戦相手がカットのためにデッキを手渡してきたときには、7回のリフルシャッフルをしてから1回のオーバーハンドシャッフルを真ん中あたりからやっておけば、相手がどんな積み込みを仕込んでいたとしてもそれを無作為化することができる。なお覚えておいて欲しいのは、対戦相手がカットしたあとでも1回までなら持ち主側もカットすることがDCIのフロアルールでは認められていることだ。

　自身のデッキについて気をつけて欲しいこととしては、デッキの土地の無作為化についてだ。特に1ゲーム終わったあとの土地が6枚以上固まっているような状態からシャッフルするときだ。

　繰り返しになるが、7回のリフルシャッフルと1回のオーバーハンドシャッフルをすれば目安としては十分だ。しかし個人的にはこれだけだとイマイチな気がしてしまう。そこで最初にパイルシャッフルを行うんだ。こうすれば土地がきちんとばらけるし、いわゆるマナ織り込み/Mana Weaving(註)をしたことにもならない。

(註) マナ織り込み/Mana Weaving
　全ての土地を抜き出してから、残った土地以外だけのデッキの隙間に2枚から3枚ごとに土地を挿入する方法。公式試合では反則をとられる。

　パイルシャッフルをしすぎないように注意すること。繰り返し続けているとまるで土地を元の並びに直そうとしているかのように見えるからね（数学的には適切な回数のパイルシャッフルを行うことでそれが可能となる）。

　それとシャッフルは常にカードをテーブルの上に伏せた状態で行うこと。またあまり遅くシャッフルすることもダメだが、同時にあまりに素早くシャッフルし過ぎることも避けたほうがいい。相手からはまるで何かを隠そうしているかのように見えるかもしれないからね。

　最後に。

　DCIのガイドラインによると「充分な無作為化がなされていない場合」はペナルティが課される(註)とある。しかし「充分な無作為化がなされていない場合」とはどのような場合だろう？

(註) ガイドライン
　今では「イベント規定」と呼ばれている大会ルール。以下のリンク先に日本語版がある。シャッフルと無作為化については「3. イベント規定」の「3.9 カードの切り直し」を参照のこと。
　http://mjmj.info/data/JPN_MTR_20120124.html

　Brad Mannの論文によると、デッキを無作為化するということは、各カードの全ての並びが等しい確率で生じるということらしい。これは確率で言うと1/n!であり、この場合の「n」はデッキのカード枚数を指す。

　「!」は数学でいう階乗で、「n!」とは「n! = n(n-1)(n-2)...(2)(1)」ということになる。通常の60枚デッキであれば組み合わせは60!通りあることになり、これは 8,320,987,112,741,390,144,276,341,183,223,364,380,754,172,606,361,245,952,449,277,696,409,600,000,000,000,000 通りの組み合わせと順序があり得るということになる。

　「充分な無作為化がなされている」と言ったときには、デッキは上記の組み合わせのどれもが等しい確率で生じ得なければならない。

　Casey McCarrelが手渡したデッキは上から11枚が全て呪文だった。無作為化の結果、そうなる確率は0.12%となる（対戦相手のBrian Hegstadが使っていたデッキの土地枚数は25枚）。言い換えると1000回に1.2回しか起きえないということだ。

　2日目に156人のプレイヤーが6マッチをおこなったとしよう。そして各マッチでは平均で2.5ゲーム行われたとすると、そこに生じるシャッフル回数は最低でも2340回となる（マリガンは考慮しない場合だ）。

　よってアメリカ選手権の2日目に、シャッフルしたデッキの山札の上から11枚が全て呪文となってしまうことは2.8回生じ得るということだ。（もちろん全員が25枚の土地が入ったデッキの場合だ。もしより少ない枚数の土地しか入っていないデッキが多ければ、その分だけこの条件を満たす可能性は高くなる）

　つまり「充分な無作為化がなされていない場合」というのは特定の並び方が生じやすいシャッフルということだ。初手の7枚に土地がないとかね。これが意図的に行われたときに気づく方法は2通りある。

　1つ目として、対戦相手が怪しいシャッフルテクニックを用いていないか観察し、デッキが対戦相手に有利な並びになっていないかをチェックすることだ。相手が不自然なシャッフルをしていないか見張ることで、有利な操作が行われていないかをチェックする理由を得ることが出来る。

　イカサマを見つける手段の2つ目は、サンプルがとれるだけのシャッフル回数をチェックし、そこから特定の並び順の結果が適切に無作為化されたときの平均より多かったり少なかったりしないかを確認することだ。

　例えば、24枚の土地が入った60枚デッキにおいて、初手の7枚に土地がない確率は2.16%だ。もし君が1日に12マッチの対戦を行い、それぞれのマッチで平均して2.5試合を戦ったとすると、30回のシャッフルが行われることとなり土地なしの初手が生じる可能性は0.658回となる。1回生じるか生じないかだ。

　さてこの事実は、もし君が土地なしの手札を引いたら対戦相手にデッキを積みこまれたことを意味するのか？

　いや、そうはならない。なぜなら30回のシャッフルで土地が1枚しかこない初手を1回でも得る可能性だけでも34.3%もあるからだ。

　しかし、もし君が同じ対戦相手と30回戦って、そのあいだに3回かそれ以上の回数の土地がない初手を得るようなことがあれば、その相手がシャッフルした際には2.16%よりも明らかに高い確率で土地のない初手が発生していると言える統計学的な証拠となる。（これは土地が24枚のデッキの話だ。デッキに入っている土地の枚数がこれより少なければ、対戦相手を疑う際の基準とする土地なしの初手が来る確率はその分高くなる）

　ここからが結論だ。

　たった1回のシャッフル結果からは対戦相手が積み込みをしているかどうかを判断することはできない。その対戦相手の全てのシャッフルから無作為に選んだサンプルを一定数集めた上でなければ、何らかの統計的なテストを行うことはできないからだ。

　たった1人のサンプルから得たデータに基づく全人口に関する調査結果を使って法廷で証言できるプロの統計学者は1人としていないだろう。

　これをマジックに当てはめて考えると、たった1回のシャッフル結果から相手のデッキが「充分な無作為化がなされていない」とは言えないということだ。一定数以上のシャッフルを見なければ判断することはできない。

　僕は決してCasey McCarrelを擁護したいわけじゃない。だけどもし冒頭に紹介した1件が法廷に持ち込まれて、ペナルティを与えた根拠がわずか1回のシャッフル結果だけで他に何の証拠もないとしたら、DCIは間違いなく負けるだろうね。

　そしてそれは誰か1人じゃなくて、みんなにとって悲しいことだと思う。

　以下はこの記事につけられていたコメントの訳。参考までに付記しておく。

コメント：GuildMaster Arrataz 2011年09月08日 01:13am

　君が引用している論文には君が言うようなことは書いてないよ。論文には、発生しうる全ての組み合わせを生じさせるために必要なシャッフル回数が最小で7回だと言っているだけだ。

　これと「7回のシャッフルを行えばデッキが適切に無作為化される」ということとはまったく別の問題だ。（君が言っているのは52!の組み合わせが全て等しく生じ得るってことだからね）